Persamaan dan Pertidaksamaan

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Sistem Persamaan

Sistem persamaan adalah persamaan-persamaan yang harus diselesaikan secara bersamaan untuk mencari nilai-nilai tunggal dari faktor-faktor yang tidak diketahui, dimana nilai-nilai tersebut benar untuk setiap persamaan. Tiga metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan yaitu:

a.       Metode Subsitusi                                c. Metode Campuran

b.      .Metode Eliminasi

Contoh Soal:

1.      Selesaikanlah persamaan berikut untuk mencari nilai x dan y, menggunakan metode subsitusi dan metode eliminasi?

x + 2y    = -1                (1)

4x – 3y  = 18               (2)

Jawab:

a.      Metode Substitusi

Persamaan (1): x + 2y = -1

                                  x = -1 – 2y

Kemudian, substitusikan x ke dalam persamaan (2)

Persamaan (2): 4x – 3y = 18

                           4 (-1 – 2y) – 3y = 18

Maka, terbentuklah persamaan sederhana dalam bentuk y:

-4 – 8y – 3y   = 18

-4 – 11y         = 18

-11y               = 18 + 4

-11y               = 22

     y               =  

                      = -2

Dengan mensubstitusikan y = -2 ke dalam persamaan (1), diperoleh:

x + 2y       = -1                  (1)

x + 2 (-2)   = -1

x - 4          = -1

x                = 3

Ø  Jadi, x = 3 dan y = -2.

b.      Metode Eliminasi

x + 2y     = -1                                 (1)

4x – 3y   = 18                                (2)

Jika persamaan (1) seluruhnya dikalikan 4 maka koefisien x dari persamaan (1) akan sama dengan koefisien x dari persamaan (2), sehingga:

4x + 8y = -4                                  (3)

Persamaan (2) dikurangi persamaan (3) menghasilkan:

4x – 3y = 18

4x + 8y = -4

      -11y = 22

          y =

 = -2

Jika persamaan (1) seluruhnya dikalikan 3 maka koefisien x dan persamaan (2) seluruhnya dikalikan 2, sehingga:

3x + 6y = -3                      (4)

8x – 6y = 36                      (5)

Persamaan (4) ditambah persamaan (5) menghasilkan:

3x + 6y = -3

8x - 6y  = 36  ₊

11x       = 33

          x =

 = 3

Jadi, x = 3 dan y = -2

c.       Metode Campuran

1.      Selesaikanlah sistem persamaan berikut

3p = 2q                        (1)

4p + q + 11 = 0           (2)

Jawab:

3p = 2q                        (1)

4p + q +11 = 0                        (2)

Dengan pengaturan ulang kita peroleh:

3p – 2q = 0                 (3)

4p + q    = -11              (4)

Kalikan persamaan (4) dengan 2, menghasilkan:

8p + 2q = -22              (5)

Dengan menjumlahkan persamaan (3) dan (5), maka:

3p – 2q = 0                 (3)

8p + 2q = -22              (5)

11p        = -22

p        =

          = -2

Dengan mensubstitusikan p = -2 ke dalam persamaan (1), maka:

3p = 2q                        (1)

3 (-2) = 2q

2q      = -6

q       = -3

B.     Sistem Pertidaksamaan

ó Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi <, >, =, = atau ≠. Dalam pelajaran aljabar biasanya hanya terkait dengan relasi <, >, =, atau = saja. Atau pertidakamaan merupakan sebuah pernyataan tentang bilangan riil a dan b yang berbentuk a < b , a > b , a ≤ b , atau a ≥ b , sehingga:

              i.      a > b ↔ b < a                         iii. a ≥ b ↔ b ≤ a

            ii.      a < b ↔ b > a                         iv. a ≤ b ↔ b ≥ a

Pertidaksamaan ada dua macam, antara lain:

1.      Pertidaksamaan mutlak; adalah benar untuk semua nilai nyata dari variable-variabel yang dikandungnya. Contoh: (a-b)² > 0 berlaku untuk semua nilai a dan b, dengan a ≠ b , karena kuadrat dari sebrang bilangan nyata adalah positif atau nol.

2.      Pertidaksamaan bersyarat; penyelesaiannya hanya memenuhi sebagian nilai-nilai dari variabel-variabel yang dikandungnya. Contoh: x–2 > 8 adalah hanya benar apabila x >10 .

ó Notasi Pertidaksamaan

a.    Kurang dari ( < )

Jika a dan b bilangan real, maka a dikatakan kurang dari b, ditulis a<b , jika dan hanya jika a - b bernilai negative.

     Contoh:

     8 < 11, karena 8 - 11 = -3 , dan -3 bernilai negative.

b.   Lebih dari ( > )

Jika a dan b bilangan real, maka a dikatakan lebih dari b, ditulis a>b , jika dan hanya jika a - b bernilai positif.

Contoh:

     4 > -1 , karena 4 – (-1) = 5 , dan 5 bernilai positif.

c.    Kurang dari atau sama dengan ( ≤ )

Jika a dan b bilangan real, maka a dikatakan kurang dari atau sama dengan b, ditulis a ≤ b , jika dan hanya jika a < b atau a = b ( a ≤ b ingkaran dari a > b).

     Contoh:

     7 ≤ 9 adalah benar karena ingkarannya 7 > 9 adalah bernilai salah.

d.   Lebih dari atau sama dengan ( ≥ )

Jika a dan b bilangan real, maka a dikatakan lebih dari atau sama dengan  b, ditulis a ≥ b , jika dan hanya jika a >  b atau a = b ( a ≥ b ingkaran dari a < b).

     Contoh:

5 ≥ 3 adalah benar, karena ingkarannya 5 <  3 adalah bernilai salah.

Contoh: perbedaan bukan persamaan, persamaan dan pertidaksamaan.

Bukan persamaan	Persamaan	Pertidaksamaan
2x + 3	2x = 3	2x > 3
2x2 – 3x + 5	2x2 – 3x = 5	2x2 – 3x ≤ 5
Dst	Dst	Dst

C.    Sistem Persamaan Linier

1.      Persamaan Linier Satu Variabel

a.      Pengertian Persamaan Linier Satu Variabel

Persamaan linier satu variabel adalah persamaan aljabar yang mencakup hanya satu variabel (yang tidak diketahui) dengan pangkat pada variabelnya satu.

Bentuk umum persamaan linier satu variabel adalah ax + b = 0 dengan a dan b bilangan real.

b.      Cara Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel

Untuk mencari penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel, maka dapat menggunakan cara:

a.       Kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

b.      Kedua ruas persamaan dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama

Contoh:

1.      Tentukan penyelesaian dari persamaan: 5x – 2 = 3x +3

Jawab:

5x – 2 = 3x + 3

5x – 3x = 3 + 2

2x = 5

x  =

2.    Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PtLSV)

ó  Pengertian PtLSV

Pertidaksamaan Linier Satu Variabel ialah suatu pertidaksamaan bersyarat dalam variable x yang memiliki bentuk E < F , E > F , E ≤ F , atau E ≥ F, dengan E dan F adalah bentuk aljabar dalam x.

ó  Penyelesaian PtLSV

Penyelesaian pertidaksamaan dalam variable x adalah semua nilai x yang membuat pertidaksamaannya menjadi pernyataan yang benar.

Untuk dapat menyelesaikan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel dilakukan dengan cara:

1.      Kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama.

2.      Kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (bukan nol), sehingga tanda pertidaksamaannya tidak berubah

3.      Kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif, sehingga tanda pertidaksamaannya berubah

Contoh:

1)      Putri memiliki 50 koin terdiri dari uang Rp 100,00 dan Rp 50,00 yang jumlahnya paling banyak Rp 4.000,00. Carilah batas dari masing-masing koin yang dimilikinya!

Penyelesaian:

Misalnya, banyak koin Rp 100,00 = x keping dan banyak koin Rp.50,00 = (50-x) keping, sehingga persamaannya menjadi:

100x + 50(50-x) ≤ 4000

                        100x + 2500 – 50x ≤ 4000

                                                50x ≤   4000 – 2500

                                                50x ≤ 1500

                                                x ≤

                                                x ≤ 30                (Banyak koin Rp. 100,00)

50 – x = 50 – 30

            = 20                   (Banyak koin Rp. 50,00)

Jadi, banyakkoinRp 100,00 adalah ≤ 30 kepingdankoinRp 50,00 adalah ≤ 20 keping.

3.    Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV)

Persamaan Linier Dua Variabel adalah sebuah persamaan yang memiliki dua variabel yang tidak diketahui, dengan pangkat tertingginya satu.

Bentuk umum:

ax + by = c di mana a, b, dan c adalah konstanta dan a, b ≠ 0.

a.      Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Pasangan dua persamaan linier dengan dua peubah atau variabel x dan y yang memiliki bentuk umum:

 atau

Dengan a, b, c, p, q, r atau a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ merupakan bilangan-bilangan real. Jika c₁ = c₂ = 0, maka SPLDV itu dinamakan homogen sedangakan jika c₁  0 atau c₂  maka SPLDV itu dinamakan tak homogen.

Contoh SPLDV homogen:                           Contoh SPLDV tak homogen:

                                      

                                 

b.      Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel

Ø  Metode Grafik

Grafik sebuah persamaan linier ax + by = c merupakan sebuah garis lurus. Dengan demikian secara grafis, sistem persamaan linier.

Titik yang bersekutu dari kedua garis tersebut merupakan penyelesaian sistem persamaan tersebut. Berdasarkan kedudukan dua garis tersebut, maka ada tiga kemungkinan penyelesaian yang dapat ditentukan, yaitu:

1.      Jika kedua garis berpotongan di satu titik (x₀, y₀), maka himpunan penyelesaian tepat mempunyai satu anggota, yaitu {(x₀, y₀)}. Ini terjadi jika   atau aq ≠ bp. Sistem persamaan linier yang tepat memiliki satu penyelesaian disebut konsisten.

2.      Jika kedua garis itu sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak mempunyai anggota atau Ø. Ini terjadi jika    atau aq – bp = 0 dan ar – pc  ≠ 0 atau br – qc ≠ 0. Sistem persamaan linier yang tidak memiliki penyelesaian disebut tidak konsisten.

3.      Jika kedua garis itu berimpit, maka himpunan penyelesaiannya mempunyai tak berhingga banyak anggota, ini terjadi jika   =   atau aq – bp = 0 dan ar – cp  = 0 dan br – cq = 0. Sistem persamaan linier yang memiliki tak berhingga banyak penyelesaian disebut bergantungan.

Langkah-langkah menentukan titik potong dua garis lurus tersebut antara lain:

1)      Menentukan titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y

2)      Menggambar grafik dan menarik garis-garis yang melalui titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y

3)      Menulis himpunan penyelesaian titik potong

4.      Persamaan Linier Tiga Variabel (PLTV)

Persamaan Linier Tiga Variabel ialah suatu persamaan yang terdiri atas tiga variabel yaitu x, y, dan z dengan pangkat tertinggi adalah satu. Dengan bentuk umum ax + by + cz = d.

Sistem persamaan linier tiga variabel adalah sistem persamaan linier yang terdiri dari tiga persamaan linier tiga variabel. Dengan bentuk umum:  

Disebut sistem persamaan linier dengan tiga variabel, dengan a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂,dan a₃₃ adalah koefisien-koefisien variabel x, y, dan z yang merupakan bilangan real dan tidak sama dengan 0. Sedangkan p, q, dan r € R adalah konstanta.

Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan tiga variabel adalah menentukan pasangan terurut (x₀, y₀, z₀) yang merupakan penyelesaian simultan atau serempak dari sistem persamaan itu, sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {(x₀, y₀, z₀)}.

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dengan tiga variabel dapat ditentukan dengan metode substitusi dan metode kombinasi eliminasi substitusi.

Ø  Metode Substitusi

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan metode substitusi melalui langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1       : Pilih salah satu persamaan yang sederhana, kemudian

nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

Langkah 2       : Substitusikan x, y, atau z yang didapat pada langkah satu

ke persamaan-persamaan yang lainnya, sehingga didapat sistem persamaan linier dengan dua variabel.

Langkah 3       : Selesaikan sistem persamaan linier dengan dua variabel

yang didapat pada langkah 2 dengan metode substitusi.

Langkah 4       : Penyelesaian sistem persamaan linier dengan dua variabel

pada langkah 3 disubstitusikan ke salah satu persamaan linier dengan tiga variabel, sehingga didapat penyelesaian simultan dari sistem persamaan itu.

Langakah 5     : Tulis himpunan penyelesaiannya.

D.    Sistem Persamaan Kuadrat

Bentuk persamaan kuadrat umum adalah: y = ax² + bx + c. Dimana a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama dengan nol. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan di mana pangkat tertinggi dari kuantitas yang tidak di ketahui adalah 2. Sebagai contoh , x² - 3x + 1=0 adalah sebuah persamaan kuadrat.

Terdapat 3 metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu:

1.      Dengan faktorisasi (jika memungkinkan)

2.      Dengan “melengkapi kuadrat”

3.      Dengan “rumus kuadrat”, atau

1.      Penyelesaian persamaan kuadrat dengan faktorisasi

Perkalian (2x+1)(x-3) menghasilkan 2x² - 6x + x-3 atau 2x² - 5x - 3. Proses dengan arah sebaliknya dari 2x² - 5x - 3 ke (2x+1) (x-3) disebut faktorisasi. Jika suatu pernyataan kuadrat dapat difaktorisasikan, maka ini menjadi metode yang paling sederhana untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat. Sebagai contoh, jika 2x² - 5x -3 = 0, maka dengan faktorisasi : (2x+1) (x-3) = 0

Sehingga penyelesaiannya (2x+1) = 0 maka, x = -  atau (x-3) = 0 maka,

x = 3. Teknik faktorisasi ini seringkali bersifat “coba-coba” atau “trial and error”.

E.     PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel paling tinggi berpangkat dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x adalah

(i) ax²+ bx + c > 0                   (iii) ax²+ bx + c < 0

(ii) ax²+ bx + c ≥ 0                  (iv) ax²+ bx + c ≤ 0

dimana a, b, c dan x ϵ R dan a≠0

1.      Interval/Selang

Interval merupakan himpunan bagian bilangan riil. Sebuah interval dapat dilukiskan pada garis bilangan yang berbentuk ruas garis (segmen garis) dan terdapat tanda lebih tebal pada titik yang bersesuaian.

2.      Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

a.       Ubahlah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat

b.      Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut seperti yang telah dijelaskan pada materi sistem persamaan kuadrat

c.       Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat pada garis bilangan

d.      Tentukan mana yang termasuk daerah positif (+) dan mana yang termasuk daerah negatif (-)

e.       Tuliskan HP sesuai soal yang diminta